TRT: Time reversing transform

假设雷达接收信号经过了脉冲压缩得到的信号为

$$s(\hat{t}, t_m)=\sum^K_{i=1}A_{1,i}\text{sinc}[B(\hat{t}-\frac{2R_i(t_m)}{c})]\times \exp(-j\frac{4\pi f_cR_i(t_m)}{c})$$

其中第i个目标的瞬时变化距离$R_i(t_m)$满足（忽略高次项，仅考虑0~3次项）

$$R_i(t_m)=R_{0i}+a_{1i}t_m+a_{2i}t_m^2+a_{3i}t_m^3$$

其中$a_{1i},a_{2i},a_{3i}$分别代表速度、加速度（注意是$\frac{1}{2}a$）和加加速度。

对$s(\hat{t}, t_m)$在快时间域做FFT，得到

$$S(f,t_m)=\sum^K_{i=1}A_{2,i}\text{rect}(\frac{f}{B})\exp[-j\frac{4\pi}{c}(f+f_c)R_i(t_m)]$$

其中慢时间$t_m=mT_r(m=-\frac{M}{2},...,-1,0,1,...,\frac{M}{2})$，将慢时间域翻转，即$\overleftarrow{S_i(f,t_m)}=S_i(f,-t_m)$，然后将二者相乘即可消去$R_i$中的一次项和三次项，得到

$$T_i(f,t_m)=S_i(f,t_m)\cdot\overleftarrow{S_i(f,t_m)} =A_{2,i}\text{rect}(\frac{f}{B})\exp[-j\frac{8\pi}{c}(f+f_c)R_{0i}]\times\exp[-j\frac{8\pi}{c}(f+f_c)a_{2i}t_m^2]$$

经过TRT后，式子只剩下零次项和二次项。做IFFT后得到

$$T_i(\hat{t}, t_m) = A \cdot \text{sinc}\left[ B \left( \hat{t} - \frac{4(R_{0i} + a_{2i}t_m^2)}{c} \right) \right] \exp\left[-j\frac{8\pi f_c}{c}(R_{0i} + a_{2i}t_m^2)\right]$$

可以发现，sinc中包含$t_m^2$项。$T_i(\hat{t}, t_m)$的幅度同时受快时间和慢时间影响，导致能量分散。接下来使用SKT消除二次项。

SKT: Second-order keystone transform

二阶Keystone变换在$f-t_m$域通过下面的式子缩放得到：

$$t_m=\sqrt{\frac{f_c}{f+f_c}}\cdot t_n$$

代入$T_i(f,t_m)$得到（消去了二次项中的$f+f_c$）：

$$T_i(f,t_m)=A_{2,i}\text{rect}(\frac{f}{B})\exp[-j\frac{8\pi}{c}(f+f_c)R_{0i}]\times\exp[-j\frac{8\pi f_c}{c}a_{2i}t_n^2]$$

使用IFFT做反变换得到

$$T_i(\hat{t},t_m)=A_{3,i}\text{sinc}[B(\hat{t}-\frac{4R_{0i}}{c})]\exp(-j\frac{8\pi f_cR_{0i}}{c})\times\exp(-j\frac{8\pi a_{2i}f_ct_n^2}{c})$$

通过上式可以发现，经过反变换后，sinc项不再包含$t_m$，也就是说$T_i(\hat{t},t_m)$的幅度仅受快时间$\hat{t}$的影响。即幅度在慢时间维度对齐了。

注意 sinc 包络的中心位置在 $\hat{t} = \frac{4R_{0i}}{c}$。正常雷达回波的延迟是 $\frac{2R_{0i}}{c}$，因为 TRT 是信号与自身反转信号相乘（等价于时域自卷积），目标的距离在 RD 图上会表现在两倍初始距离的位置。

观察后面的相位项 $\exp[-j\frac{8\pi f_c}{c}a_{2i}t_n^2]$，它是一个关于慢时间 $t_n(t_m)$ 的二次函数。在信号处理中，相位如果是时间的二次函数，那么它的频率（相位的导数）就是时间的一次函数。这说明，在慢时间维度上，目标信号已经退化成了一个线性调频信号（LFM / Chirp 信号）。其调频斜率为$\frac{-8f_ca_{2i}}{c}$。

LVD: Lv’s distribution

合并常数，可以得到

$$T_i(\hat{t},t_m)=A_{4,i}\text{sinc}[B(\hat{t}-\frac{4R_{0i}}{c})]\exp(-j\frac{8\pi a_{2i}f_ct_n^2}{c})$$

吕氏分布（Lv’s distribution）对于线性调频信号的能量具有很好的合并效果。于是使用LVD就可以得到聚焦目标。

考虑上式的参数对称瞬时自相关函数（parametric symmetric instantaneous autocorrelation function， PSIAF）如下所示：

$$R^C(t_n, \tau)=T_i(t_n+\frac{\tau+a}{2})T_i^*(t_n-\frac{\tau+a}{a})=A_{4,i}^2\exp[-j\frac{16\pi f_ca_{2i}}{c}(\tau+a)t_n]$$

其中$\tau$是一个延时变量，a是一个固定延时，与缩放算子有关系。

可以观察到，$R^C$中的两个变量$t_n, \tau$一起耦合在相位中了，为了将其解耦，考虑变量代换$t_n=\frac{t_a}{h(\tau+a)}$，其中h是缩放因子。代入得到

$$R^C(t_n, \tau)=A_{4,i}^2\exp[-j\frac{16\pi f_ca_{2i}}{hc}t_a]$$

常用a=1,h=1，采用2D傅里叶变换得到

$$L_{T_i(t_m)}(f,\gamma)=A_{5,i}\exp(j2\pi f)\text{sinc}(f)\text{sinc}(\gamma+\frac{8f_ca_{2i}}{c})$$

可以观察到，在$f$维度的sinc函数中，没有任何关于目标速度的变量，它的峰值在 $f = 0$ 的位置。在$\gamma$维，sinc函数的峰值在$\gamma = -\frac{8f_c a_{2i}}{c}$处，而这个值仅与目标加速度$a_{2i}$有关。

最后，我们考虑如何得到参数对称瞬时自相关函数（PSIAF）？

PSIAF的计算

忽略无关常数，简化为

$$s(t) = \exp(j \pi \gamma t^2)$$

计算方法：把信号本身向左平移一点点（$\tau/2$），再向右平移一点点（$\tau/2$），将后者取共轭后，两者相乘。即

$$R(t, \tau) = s(t + \tau/2) \cdot s^*(t - \tau/2)=\exp[j \pi \gamma (t + \tau/2)^2] \cdot \exp[-j \pi \gamma (t - \tau/2)^2]$$

将平方项展开得到

$$(t + \tau/2)^2 - (t - \tau/2)^2 = (t^2 + t\tau + \tau^2/4) - (t^2 - t\tau + \tau^2/4) = 2t\tau$$

因此

$$R(t, \tau) = \exp(j 2\pi \gamma t \tau)$$

此时表达式从$t^2$变成$t\tau$了。此时再进行解耦。令 $u = t \cdot \tau$，因此$t = \frac{u}{\tau}$，代入$R$得到

$$R_1(u, \tau) = \exp\left[j 2\pi \gamma \left(\frac{u}{\tau}\right) \tau\right] = \exp(j 2\pi \gamma u)$$

此时式子不再包含$\tau$。因此分别对u和τ做FFT（2D-FFT）：

• $u$ 轴：因为信号是 $\exp(j 2\pi \gamma u)$，对它做傅里叶变换，必然会在频率域的 $\gamma$ 处产生一个极其尖锐的峰值（也就是 $\text{sinc}$ 函数）。这对应$L_{T_i(t_m)}(f,\gamma)$中的 $\text{sinc}(\gamma + \dots)$。
• $\tau$ 轴：因为式子里没有 $\tau$（相当于乘以了 $1$），常数 $1$ 的傅里叶变换就是在 $0$ 频处产生一个尖峰。这对应$L_{T_i(t_m)}(f,\gamma)$中的 $\text{sinc}(f)$。

工程实现

1. S_plus = sig(t + tau/2) （信号左移）
2. S_minus = conj(sig(t - tau/2)) （信号右移并共轭）
3. R = S_plus * S_minus （复数相乘）

参考文献

Fast coherent integration for maneuvering target with high-order range migration via TRT-SKT-LVD | IEEE Journals & Magazine | IEEE Xplore

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