【〇】FMCW雷达信号处理

Frequency modulated continuous wave（频率调制连续波），也称为modulated continuous wave radar。

频率调制的过程中，传输电磁波的频率与时间线性递增。也就是说，传输频率将以恒定速率变化。这种频率随时间线性增加的信号被称为啁啾信号（Chirp）。

FMCW系统测量发射信号频率与反射信号频率之间的瞬时差异 $δf$ ，即与时间差成正比 $δt$ 反射的Chirp。时间差可用于计算目标的距离。

Chirp Signal

描述Chirp特征的是起始频率 $f_c$ 带宽 $B$ 和持续时间 $T_c$ 。Chirp的斜率决定了其加速的速度。

FMCW雷达系统的结构

频率合成器和压控振荡器（VCO）共同在VCO的输出端产生了线性FMCW信号。生成的信号被分为两部分：一部分用作发射信号，另一部分信号被送到混频器，用于对接收天线接收到的放大信号进行下变频（down-convert，意思是将高频率的信号变为基带信号）。

FMCW雷达的特点：

Ability to measure small ranges.
Simultaneous measurement of both range and velocity information.
Signal processing is performed at a low frequency range.

距离分辨率Range Resolution

雷达前方的一个目标会产生一个频率恒定的中频信号(IF Signal)，其频率由以下公式给出：

$\text{IF}_\text{frequency}=\frac{2Sd}{c}$

d表示雷达与目标的距离；c是光速；S是Chirp的斜率，由带宽变化率除以Chirp持续时间得到：

$S=\frac{B}{T_c}$

其中B表示带宽（Hz）， $T_c$ 表示chirp的持续时间（s）。

可以通过对IF进行FFT，得到幅度谱就可以提取出那个固定频率。

原DFT算法复杂度 $O(n^2)$ ，使用FFT后复杂度降低到 $O(n\log n)$

将幅度谱随距离值变化的曲线绘制出来，就称为距离FFT图（Range FFT Plot）。如果雷达前方存在多个目标，中频信号的幅度谱会显示多个峰值，每个峰值的频率与目标到雷达的距离成正比。换句话说，峰值的位置直接对应于目标的距离。然而，如果目标彼此距离太近，它们在幅度谱上会显示为一个单一的峰值。这时就需要引入距离分辨率的概念：它是指雷达区分近距离目标的能力。

$\text{Range}_\text{Resolution}=\frac{c}{2B}$

其中c是光速；其中B表示带宽（Hz）。

也就是说距离分辨率只取决于带宽：带宽越大，分辨率越好。但同时也必须注意的是，雷达系统的带宽必须符合美国联邦通信委员会（FCC）设定的标准，比如对于60GHz的雷达，带宽设定为7GHz；对于24GHz的雷达，带宽设定为250MHz。与此同时，中频带宽也受制于数模转换器（ADC）的采样频率： $F_s≥(S\cdot 2\cdot \text{Range}_\text{max})/c$

因此雷达的最大测距距离为： $\text{Range}_\text{max}=\frac{F_s\cdot c}{2S}=\frac{F_s\cdot c\cdot T_c}{2B}$

距离多普勒Range Doppler

两个与雷达距离相等的物体在距离FFT图中仍然会产生一个峰值，但事实证明，如果计算出目标的相位，则可以利用两个连续脉冲之间的相位差来估计目标的速度。因此，这些目标与雷达的距离可能相同，但它们的速度却可能不同。两个间隔为 $T_c$ 的脉冲可以测量的最大速度由以下公式给出：

$v_\text{max}=\lambda/(4\text{PRT})$

$\lambda$ 为波长（m），PRT是是chirp重复时间（s）（有时也称为脉冲重复时间），它是两个chirp之间的间隔.

以英飞凌的 BGT60XX 雷达为例，由于它会生成快速Chirp信号，因此仅使用两个Chirp信号很难观察到相位变化，所以至少需要使用 8 个线性调频信号来提取相位信息。

一般来说，如果发射并接收多个Chirp信号，则反射回来的信号可以存储为矩阵的行元素。对每一行或每一个啁啾信号进行快速傅里叶变换（FFT）相当于进行距离FFT。对列进行FFT可以分辨目标的径向速度，这种计算方法称为多普勒FFT。整个过程称为距离多普勒变换。

每一行表示一个反射回来的信号。

对每一行做FFT称为距离FFT（Range FFT）。

对每一列做FFT称为多普勒FFT（Doppler FFT）。

雷达参数解释（适用于英飞凌DEMO BGT60TR13C）

啁啾信号（Chirp）是一种频率随时间以恒定速率（ $df/dt$ ）变化（即增加或减少）的信号。在传输啁啾信号的过程中，接收天线接收到的信号会被模数转换器（ADC）主动采样，转换为数字波形，以便进行后续处理。

下面是Infineon RFS SDK使用的Avian配置结构参数对应图中参数的含义（还包括一些其他参数的介绍）：

Avian配置参数	符号	含义
num_samples_per_chirp	$N_\text{samples}$	表示帧中每个chirp期间采集的样本数
start_frequency_Hz	$f_\text{tx\_start}$	表示chirp的开始频率
end_frequency_Hz	$f_\text{tx\_end}$	表示chirp的停止频率
sample_rate_Hz	$f_\text{adc}$	ADC的采样率
chirp_repetition_time_s	$\text{PRT}$	脉冲重复时间，表示是两个连续时间 $t_\text{chirp\_start}$ 的间隔。
num_chirps_per_frame	$N_c$	表示在一个测量帧中所包含的连续chirps的数量以及帧结束延迟(frame end delay)
frame_repetition_time_s	$\text{frame\_time}$	一个帧的周期 $=\text{number\_of\_chirps*PRT+frame\_end\_delay}$
	$df$ ( $B_s$ )	Chirp的总带宽 $=f_\text{tx\_end}-f_\text{tx\_start}$
	$f_c$	中心频率， $=\frac{1}{2}(f_\text{tx\_end}+f_\text{tx\_start})$
	$T_\text{ramp}$	执行chirp的时间
	$T_\text{pre\_ramp}$	连续chirp信号之间的空闲时间
	$\text{frame\_rate}$	帧率 $=1/\text{frame\_time}$
	$\lambda$	波长， $\lambda=c/f_c$

对于Avian雷达传感器，时间点 $t_\text{adc\_end}$ 和 $t_\text{tx\_end}$ 是一样的，频率点 $f_\text{adc\_end}$ 和 $f_\text{tx\_end}$ 也一样。
c为光速， $c=299792458\text{m/s}≈3\times 10^8\text{m/s}$

雷达参数指标

max_range_m: 最大距离 $r_\text{max}=\frac{r_\text{res}}{2}N_\text{samples}=\frac{c\cdot N_\text{samples}}{4B_s}$ （0到该值的范围）
max_speed_m_s: 最大速度 $v_\text{max}=\frac{\lambda}{4\text{PRT}}=\frac{c}{4\text{PRT}\cdot f_c}$ （从-max_speed_m_s到+max_speed_m_s）
range_resolution_m: 距离分辨率 $\Delta R= r_\text{res}=\frac{c}{2B_s}$ ，辨识相同速度的两个物体的最小距离差。
speed_resolution_m: 速度分辨率 $\Delta v = v_\text{res}=\frac{2v_\text{max}}{N_c}=\frac{c}{2\text{PRT}\cdot N_c \cdot f_c}$ ，辨识相同距离的两个物体的最小速度差。从此也可推导出以下表达式：
$N_\text{samples}=\frac{2r_\text{max}}{\Delta R}$
$B_s=\frac{c}{2\Delta R}$
$\text{PRT}=\frac{\lambda}{v_\text{max}}$
$N_c=\frac{2v_\text{max}}{\Delta V}$

根据计算公式可以得到以下结论：

为了得到更远的测量距离，ADC采样率需要增加，代价是单个chirp持续时间会更长。最大距离也受信号从目标反射回雷达的强度所限制。
距离分辨率 $r_\text{res}$ 与雷达带宽 $B_s$ 成反比。（但注意分辨能力与雷达带宽成正比，因为距离分辨率越小分辨能力越强）
PRT设置为多少由你想要检测的最大速度所决定。
$N_c$ 设置为多少由你想要检测的最大速度和速度分辨率共同决定。
$N_\text{samples}$ 越大，PRT可设置的最小值就会变大，进而限制能检测到的最大速度。
$N_c$ 越大，帧时间越长，检测帧率能设置的最大值就会变小。

假设中心频率 $f_c=60\text{GHz}$ ，雷达带宽 $B_s=2\text{GHz}$ 。波长为5mm。下面给出了一些例子。

$N_\text{samples}$	PRT( $\mu s$ )	$N_c$	$B_s$ (GHz)	$r_\text{res}$ (m)	$r_\text{max}$ (m)	$v_\text{max}$ (m/s)	$v_\text{res}$ (m/s)	帧率Hz
64	500	64	2	0.075	2.4	2.467	0.077	31.25
256	500	128	2	0.075	9.6	2.496	0.039	15.625
128	500	16	2	0.075	4.8	2.496	0.312	125
128	5000	256	2	0.075	4.8	0.2479	0.0019	0.78

参考文献

Infineon RFS SDK Documentation中Introduction to Radar部分。

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